TEMARIO

UNIDAD #1

Variable dependiente e independiente

La variable independiente es aquella propiedad, cualidad o característica de una realidad, evento o fenómeno, que tiene la capacidad para influir, incidir o afectar a otras variables. Se llama independiente,  porque esta variable no depende de otros factores para estar presente en esa realidad en estudio.

Algunos ejemplos de variables independientes son; el sexo, la raza, la edad, entre otros. Veamos un ejemplo de hipótesis donde está presente la variable independiente: “Los niños que hacen tres años de educación preescolar, aprenden a leer más rápido en primer grado.” En este caso la variable independiente es “hacen tres años de educación preescolar.” Porque para que los niños de primer grado aprendan a leer más rápido, depende de que hagan tres años de educación preescolar.

La variable dependiente; es aquella característica, propiedad  o cualidad de una realidad o evento que estamos investigando. Es el objeto de estudio, sobre la cual se centra la investigación en general. También la variable independiente es manipulada por el investigador, porque el investigador él puede variar los factores para determinar el comportamiento de la variable.

Por ejemplo: “Los niños que hacen tres años de educación preescolar, aprenden a leer más rápido en primer grado.”

En este caso la variable dependiente sería “aprenden a leer más rápido”, pero aprenden a leer más rápido como consecuencia de que “hacen tres año de educación preescolar”. Por esta razón  se recomienda  que en el título de un trabajo siempre debe aparecer la variable dependiente, pues está es el objeto de estudio.

ANTIDERIVADAS

La antiderivada es la función que resulta del proceso inverso de la derivación, es decir, consiste en encontrar una función que, al ser derivada produce la función dada.

Por ejemplo:

Si f(x) = 3×2, entonces, F(x) = x3, es una antiderivada de f(x). Observe que no existe una derivada única para cada función. Por ejemplo, si G(x) = x3+ 5, entonces es otra antiderivada de f(x).

La antiderivada también se conoce como la primitiva o la integral indefinida se expresa de la siguiente manera: en donde: f(x) es el integrando; dx, la variable de integración o diferencial de x y C es la constante de integración.

Notación

La notación que emplearemos para referirnos a una antiderivada es la siguiente:

Teorema

Si dos funciones h y g son anti derivadas de una misma función f en un conjunto D de números reales, entonces esas dos funciones h y g solo difieren en una constante.

Conclusión: Si g(x) es una antiderivada de f en un conjunto D de números reales, entonces cualquier antiderivada de f es en ese conjunto D se puede escribir comoc constante real.

Fórmula que relaciona la integral definida y la indefinida

A la hora de resolver una antiderivada o integral indefinida se deben tener disponibles los recursos aritméticos y heurísticos. Estos son:

        Concepto.

         Propiedades.

         Reglas de integración.

         Integrales inmediatas.

         Métodos clásicos de integración:

Integración por sustitución.

Integración por partes.
Integración de fracciones racionales mediante fracciones simples.

      Uso de tablas.

     Integración de funciones trigonométricas sencillas.

         Integración de funciones racionales sencillas.

Función algebraica

En matemáticas, una función algebraica es una función que satisface una ecuación polinómica cuyos coeficientes son a su vez polinomios o monomios. Por ejemplo, una función algebraica de una variable x es una solución y a la ecuación

donde los coeficientes a_i(x) son funciones polinómicas de x. Una función que no es algebraica es denominada una función trascendente.

Funciones logarítmica

En matemáticas, el logaritmo de un número —en una base de logaritmo determinada— es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número. Por ejemplo, el logaritmo de 1000 en base 10 es 3, porque 1000 es igual a 10 a la potencia 3: 1000 = 10³ = 10×10×10.

De la misma manera que la operación opuesta de la suma es la resta y la de la multiplicación la división, el cálculo de logaritmos es la operación inversa a la exponenciación de la base del logaritmo.

Para representar la operación de logaritmo en una determinada base se escribe la abreviatura log y como subíndice la base y después el número resultante del que deseamos hallar el logaritmo. Por ejemplo, 3⁵=243 luego log₃243=5. Cuando se sobreentiende la base, se puede omitir.

Los logaritmos fueron introducidos por John Napier a principios del siglo XVII como un medio de simplificación de los cálculos. Estos fueron prontamente adoptados por científicos, ingenieros, banqueros y otros para realizar operaciones fácil y rápidamente, usando reglas de cálculo y tablas de logaritmos. Estos dispositivos se basan en el hecho más importante — por identidades logarítmicas — que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores:

Función exponencial.

La función exponencial, es conocida formalmente como la función real e^x, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828...; esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=e^x o expo(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural.

En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es del tipo exponencial en base a si tiene la forma

Siendo a, K ∈ R números reales, con a > 0. Así pues, se obtiene un abanico de exponenciales, todas ellas similares, que dependen de la base a que utilicen.

Funciones trigonométrica

En matemáticas, las funciones trigonométricas son las funciones establecidas con el fin de extender la definición de las razones trigonométricas a todos los números reales y complejos.

Las funciones trigonométricas son de gran importancia en física, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones.

Cambio de variable

• Ecuaciones bicuadradas

• Ecuaciones y sistemas exponenciales

• Ecuaciones de tercer grado

• Ecuaciones de cuarto grado

• Se factoriza 9 en 3² para que tenga la misma base que 7 · 3^x:

• Se realiza el cambio de variable 3^x = z, por lo que 3^2x = z², y tenemos:

• Se deshace el cambio de variable:

Integración directa
Función parcial Función parcial
Función total
Definición
 
* Concepto de integral definida

• 1. Concepto de integral definida La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y val área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.La integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a, b] sede nota como: Propiedades de la integral definida La integral definida cumple las siguientes propiedades: Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto, [a, a], es igual a cero. Cuando la función f (x) es mayor que cero, su integral es positiva; si la función es menor que cero, su integral es negativa. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales tomadas por separado. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función (es decir, se puede «sacar» la constante de la integral). Al permutar los límites de una integral, ésta cambia de signo. Dados tres puntos tales que a < b < c, entonces se cumple que (integración a trozos): Para todo punto x del intervalo [a,b] al que se aplican dos funciones f (x) y g (x) tales que f (x) g (x), se verifica que:

• 2. Ilustración gráfica del concepto de integral definida. Función integral Considerando una función f continua en [a, b] y un valor x [a, b], es posible definir una función matemática de la forma: Donde, para no inducir a confusión, se ha modificado la notación de la variable independiente de x a t. Esta función, simbolizada habitualmente por (x), recibe el nombre de función integral o, también, función área pues cuando f es mayor o igual que cero en [a, b], F (x) nos da el área. Interpretación geométrica de la función integral o función área. Teorema fundamental del cálculo integral La relación entre derivada e integral definida queda establecida definitivamente por medio del denominado teorema fundamental del cálculo integral, que establece que, dada una función f (x), su función integral asociada F (x) cumple necesariamente que: A partir del teorema fundamental del cálculo integral es posible definir un método para calcular la integral definida de una función f (x) en un intervalo[a, b], denominado regla de Barrow: Se busca primero una función F (x) que verifique que F¿ (x) = f (x). Se calcula el valor de esta función en los extremos del intervalo: F (a) y F (b).

 
*Propiedades
Linealidad de la integral indefinida

1. Si f es una función que admite una primitiva F sobre un intervalo I, entonces para todo real k, una primitiva de kf sobre el intervalo I es kF.

1. Si F y G son primitivas respectivas de dos funciones f y g, entonces una primitiva de f + g es F + G.

El cálculo integral, es una rama de las matemáticas que se encarga del estudio de las integrales y las anti derivadas se emplea mas para calculas aéreas y volúmenes. Fue usado principalmente por, Aristóteles, Descartes, newton y Barrow. Barrow con las aportaciones de newton creo el teorema de cálculo integral que dice: que la integración y la derivación son procesos inversos.
*FORMULAS DIRECTAS
*Integrales por sustitución o cambio de variable
Pasos para integrar por cambio de variable
-Integración por partes
 
                                  Cambios de variables usuales

Un cambio de variable es una técnica empleada en matemática para resolver algunas ecuaciones o sistemas de ecuaciones de grado superior a uno, que de otra forma sería más complejo resolver. Mediante este sistema se da paso a una ecuación equivalente, y, una vez resuelta, se deshace el cambio para obtener el valor de la incógnita inicial. Se emplea en los siguientes casos:

Ejemplo: resolución de una ecuación exponencial mediante cambio de variable:

Existen tres tipos de ecuaciones exponenciales; en el segundo caso pueden reducirse a una de segundo grado. Es el caso de . Se siguen los siguientes pasos:

La única solución es x = 2, ya que las potencias de 3 siempre son positivas, por lo que 3^x = - 2 no puede cumplirse.

Por partes

Se entiende por métodos de integración cualquiera de las diferentes técnicas elementales usadas para calcular una antiderivada o integral indefinida de una función.

Así, dada una función f(x), los métodos de integración son técnicas cuyo uso (usualmente combinado) permite encontrar una función F(x) tal que

El problema de resolver una integral indefinida o buscar una primitiva es mucho más complicado que el problema de calcular la derivada de una función. De hecho, no existe un algoritmo determinista que permita expresar la primitiva de una función elemental, es más, la primitiva de muchas funciones elementales de hecho no es ninguna función elemental. Por ejemplo, no existe ninguna función elemental F(x) que sea tal que:

Si se consideran grupos de funciones elementales de un cierto tipo (polinómicas, fracciones racionales, trigonométricas, etc.) entonces el problema de encontrar la primitiva puede resolverse con problemas elementales llamados métodos de integración como los tratados a continuación.

En ocasiones es posible aplicar la relación dada por el teorema fundamental del cálculo de forma directa. Esto es, si se conoce de antemano una función cuya derivada sea igual a f(x) (ya sea por disponer de una tabla de integrales o por haberse calculado previamente), entonces tal función es el resultado de la antiderivada. La integración directa requiere confeccionar una tabla de funciones y sus antiderivadas o funciones primitivas

Las funciones se pueden clasificar en función de su conjunto de partida (o dominio). Dando lugar a dos tipos, parciales y totales.

Una función parcial es una relación que asocia elementos de un conjunto (a veces denominado dominio) con, como máximo, uno de los elementos de otro conjunto (que puede ser el mismo), llamado condominio. En cualquier caso, no es necesario que todos los elementos del dominio estén asociados con algún elemento del condominio.

Si todos los elementos de un conjunto X se asocian con un elemento de Y mediante una función parcial f:X→Y , entonces se dice que f es una función total, o simplemente una función, como se entiende tradicionalmente este concepto en matemáticas. No todas las funciones parciales son funciones totales.

En matemáticas, una función se dice que es total si está definida para todo el conjunto de partida. Para comprender esto, debemos saber que:

Sea f: A → B, diremos que f está definida para un elemento si existe un par . Esto se escribe como f(a) = ↓. Por el contrario, escribiremos f(a) = ↑ cuando f no está definida para a.

Una función que no es total, es decir, que está indefinida para algún/os elemento/s, se conoce como parcial.

UNIDAD # 2

DETERMINACIÓN DE LA INTEGRAL

                                               DETERMINACION DE  LA INTEGRAL DEFINIDA

* Notación Sumatoria

 El sumatorio es una herramienta matemática representada por la letra griega Σ que expresa la suma de n términos: x₁ , x₂ , x₃ , ... , x_n

Para la notación con funciones, la definición se puede expresar de la siguiente manera

*Suma de Riemann

En matemáticas, la suma de Riemann es un método de integración numérica que nos sirve para calcular el valor de una integral definida, es decir, el área bajo una curva, este método es muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema fundamental del cálculo. Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann.

La suma de Riemann consiste en trazar un número finito de rectángulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de ellos y sumarlos. El problema de este método de integración numérica es que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande.

Consideremos lo siguiente:

·         una función 

donde D es un subconjunto de los números reales 

·         I = [a, b] un intervalo cerrado contenido en D.

·         Un conjunto finito de puntos {x₀, x₁, x₂, ... x_n} tales que a = x₀ < x₁ < x₂ ... < x_n = b

crean una partición de I

P = {[x₀, x₁), [x₁, x₂), ... [x_n-1, x_n]}

Si P es una partición con n elementos de I, entonces la suma de Riemann de f sobre I con la partición P se define como

donde x_i-1 ≤ y_i ≤ x_i. La elección de y_i en este intervalo es arbitraria.

Si y_i = x_i-1 para todo i, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la izquierda.

Si y_i = x_i, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la derecha.

Cuando hablamos de integrales definidas nos referimos que dichas integrales cuentan con un parámetro definido o puntos de integración definidas para encontrar el valor del área bajo la curva de una función F(x), tal que si una función f(x) es continua en el intervalo cerrado [a,b], entonces F(x) es integrable en [a,b].

Cuando hablamos de integrales indefinidas, hablamos de parámetros o valores de integración en el cual no están definidos o bien no contiene los puntos de integración, por lo cual solo se dejan expresados. En este caso no encontramos el valor para hallar el área bajo la curva de una fusión F (x), ya que solo dejamos expresada la función en terminos de variables.

La primitiva es lineal, es decir:

La linealidad se puede expresar como sigue:

* DEFINICIÓN

- Calculo De Integrales Definidas

*Cálculo de integrales

La técnica más básica para calcular integrales de una variable real se basa enel teorema fundamental del cálculo. Se procede de la siguiente forma:

1. Se escoge una función f(x) y un intervalo [a, b].

2. Se halla una primitiva de f, es decir, una función F tal que F' =f.

3. Se emplea el teorema fundamental del cálculo, suponiendo que ni el integrando ni la integral tienen singularidades en el camino de integración, 

4. Por tanto, el valor de la integrales F(b) − F(a).

Nótese que la integral no es realmente la primitiva, sino que el teorema fundamental permite emplear las primitivas para evaluar las integrales definidas.

A menudo, el paso difícil de este proceso es el de encontrar una primitiva de f. En raras ocasiones es posible echar un vistazo a una función y escribir directamente su primitiva. Muy a menudo, es necesario emplear una de las muchas técnicas que se han desarrollado para evaluar integrales. La mayoría de ellas transforman una integral en otra que se espera que sea más manejable. Entre estas técnicas destacan:

*Integración por cambio de variable

* Integración por partes

* Integración por sustitución trigonométrica

* Integración de fracciones parciales

Incluso si estas técnicas fallan, aún puede ser posible evaluar una integral dada. La siguiente técnica más común es el cálculo del residuo, mientras que la serie de Taylor a veces se puede usar para hallar la primitiva de las integrales no elementales en lo que se conoce como el método de integración por series. También hay muchas formas menos habituales para calcular integrales definidas; por ejemplo, se puede emplear la identidad de Parcelar

El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta.

Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.

1º Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:

Se despeja u y dx, sustituyendo en la integral:

2º Si la integral resultante es más sencilla, integramos:

3º Se vuelve a la variable inicial:

El método de integración por partes permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula:

Las funciones logarítmicas, "arcos" y polinómicas se eligen como u.

Las funciones exponenciales y trígonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como v'.

Si al integrar por partes tenemos un polinomio de grado n, lo tomamos como u y se repite el proceso n veces.

Si tenemos una integral con sólo un logaritmo o un "arco", integramos por partes tomando: v' = 1.

1.

2.

3.

Objetivo 2.2.1: resuelve aplicaciones de la integral definida de acuerdo con lo siguiente

* Ejercicios de Cálculo de áreas con una función

El área de una figura geométrica es todo el espacio que queda encerrado entre los límites de esa figura.

Para calcular el área de algunas figuras se utilizan las fórmulas que aparecen dentro del dibujo de abajo.

En cada caso, debe reemplazarse los valores conocidos en los problemas expuestos y calcular los valores pedidos.

Con ayuda del cuadro anterior se puede hacer uso de las fórmulas para resolver problemas.

En el medio circundante hay muchas de estas figuras y es bastante común que se requiera conocer su área, por lo que en la práctica es muy útil saber aplicar estas fórmulas.

Ver: PSU: Geometría;

Ejemplos:

1.- Una mesa circular tiene un área de 5.027 cm² ¿cuánto mide su radio?

La fórmula para calcular el área del círculo es 

Reemplazamos valores y queda 5.027 = 3,1416 • r²

Resolvemos:

O bien

r² = 1.600 (radio al cuadrado vale 1.600)

(radio solo, vale la raíz cuadrada de 1.600)

r = 40 cm

2.- Un plato tiene un diámetro de 16 cm ¿cuál es su área?

Sabemos que el diámetro (d) de la circunferencia es igual a dos radios (2r), por lo tanto el radio (r) será igual al diámetro (16 cm) dividido por 2, o sea, r = 8.

Reemplazamos los valores, y queda

A = 3,1416 • r²

A = 3,1416 • 8²

A = 3,1416 • 64

A = 201 cm²

 *Problema de algún concepto

*Ingeniería

Un modelo constituye una representación o abstracción de la realidad. Entre los diferentes tipos de modelos se pueden mencionar los analógicos, físicos, gráficos, esquemáticos y matemáticos.

La modelación matemática es un intento de describir alguna parte del mundo real en términos matemáticos. Modelos matemáticos han sido construidos en todas las ciencias tanto físicas, como biológicas y sociales. Los elementos que lo componen son tomados del cálculo, el álgebra, la geometría y otros campos afines.

Es natural que los modelos matemáticos sean modelos de analogía incompleta, es decir, que reflejan solamente algunas propiedades del objeto modelado. A la vez, los modelos matemáticos se caracterizan por una suficiente generalidad, describiendo una clase completa de objetos o fenómenos. Por otra parte, la creación de modelos matemáticos no requiere significativos gastos materiales y la realización del propio proceso de modelación con ayuda de los modernos medios de cómputo permite efectuarla en un tiempo relativamente pequeño.

En un modelo matemático se establece un conjunto de relaciones (de igualdad y/o de desigualdad) definidas en un conjunto de variables que reflejan la esencia de los fenómenos en el objeto de estudio. Formalmente un modelo matemático M es una estructura, donde R es el conjunto de las relaciones y V el conjunto de las variables.

Dado un problema del mundo real, la primera tarea es formular un modelo matemático. Para ello se identifican y nombran las variables y se establecen hipótesis que simplifiquen el fenómeno lo suficiente para que pueda tratarse matemáticamente. En lo anterior se pone a prueba el conocimiento de la situación física y las habilidades matemáticas para obtener las relaciones entre las variables. En algunas situaciones en que no se dispone de una ley física, es necesario examinar una colección de datos para reconocer patrones, interpretando los mismos numéricamente, gráficamente e incluso podrían sugerir una representación algebraica.

Papel de la Modelación Matemática en la Formación de los Ingenieros

La segunda etapa es aplicar las técnicas de las matemáticas conocidas al modelo matemático para llegar a conclusiones matemáticas. En la tercera etapa las conclusiones matemáticas se interpretan como información acerca del fenómeno original del mundo real, de manera que ofrezcan explicaciones o se hagan predicciones. El paso final es validar las predicciones al ser comparadas con nuevos datos reales. Si las predicciones no se ajustan bien con la realidad, se redefine el modelo o se formula uno nuevo y se reinicia el ciclo.

Un modelo matemático nunca es una representación completamente exacta de una situación física; es una idealización. En un buen modelo la realidad se simplifica lo suficiente para permitir cálculos matemáticos, pero incluso así es bastante exacto para permitir conclusiones valiosas. Es importante el conocimiento acerca de las limitaciones de un modelo.

De lo anterior se infiere, que para construir un modelo matemático (Deiros Fraga, Beatriz. Optimización Pág. 1 a la 130) es necesario seguir una trayectoria bien definida y desglosada en diferentes pasos adecuadamente ordenados, los cuales constituyen un enfoque lógico y consistente que se denominará estrategia general de la modelación matemática, la cual se basa en el proceso de modelado presentado.

*Economía

Este trabajo está estructurado  en tres partes. En el  primero se recogen algunas

Consideraciones sobre la noción de Economía. A continuación se ofrece una breve

Visión panorámica del desarrollo histórico de la Macroeconomía. El capítulo termina

Con algunas reflexiones sobre determinados aspectos metodológicos de la Teoría

Economía.

1. CONCEPTO DE ECONOMÍA

No resulta fácil ofrecer una definición de Economía, ni tampoco especificar cuál es

Su objeto de estudio, puesto que no existe unanimidad al respecto entre los principales

Economistas del pasado ni de la actualidad. Facilita el acercamiento a esta cuestión, no

Obstante, la referencia a algunas de las definiciones de Economía proporcionadas por los

Autores más relevantes a lo largo de la historia de nuestra ciencia.

Tradicionalmente - aunque es éste asimismo un punto controvertido - se considera

Que el inicio de la economía como disciplina científica va aparejada a la publicación de

la okra de Adam Smith The Wealth of Nations (1776). Para Smith la Economía Política

Es “una de las ramas de la ciencia del legislador o del estadista” (1776, p.428). Smith

Delimita con más claridad el ámbito de esta rama del saber al describir dos objetos

Propuestos por la Economía,

“El primero, suministrar al pueblo un abundante ingreso o subsistencia, o,

Hablando con más propiedad, habilitar a sus individuos y ponerles en

Condiciones de lograr por sí mismos ambas cosas ; el segundo, proveer al

Estado o República de rentas suficientes para los servicios públicos. Procura

Realizar, pues, ambos fines, o sea enriquecer al soberano y al pueblo” (1776,

p. 428).

En estas breves líneas se encierran numerosas cuestiones que podrían dar lugar a

Amplias discusiones y análisis, como cuáles deban ser, en último término, las funciones

Respectivas del Estado y del mercado.

*ADMINISTRACION

. LA IMPORTANCIA DE LA MATEMATICA EN LA Administración teoría matemática aplicada a la solución de los problemas administrativos se conoce como investigación se conoce como investigación de operativas (IO). La denominación IO consagrada universalmente. la teoría matemática no es propiamente una escuela, al igual que la teoría de las relaciones humanas, sino una corriente que se encuentran en varios autores que enfatizan el proceso de decisión y lo relacionan de modo lógico y racional a través de un enfoque cuantitativo, determinado y lógico. La teoría matemática se preocupa por crear modelos matemáticos capaces de simular situaciones reales en la empresa. La teoría matemática aplicada a problemas administrativos es más conocida como Investigación de Operaciones (IO), aunque esta denominación este consagrada universalmente, es muy genérica, pese a que la teoría matemática no es propiamente una escuela definida. La teoría matemática hace énfasis en el proceso decisorio y lo trata de modo lógico y racional mediante un enfoque cuantitativo y determinista. ORÍGENES DE LA TEORIA MATEMATICA EN LA Administración teoría matemática surgió en la teoría administrativa:- El trabajo clásico sobre teorías d juegos para la teoría estadística de la decisión-Perspectiva del problema: buscar soluciones a un problema-La existencia de las decisiones programables: Simón había definido las decisiones Cualitativas (no programables y tomadas por el hombre) y las decisiones cuantitativas (programables para el hombre).Cuatro circunstancias básicas determinaron el surgimiento de la teoría matemática en la administración.